Die Singularitätsmauer Teil 2 von 3

Die arithmetische Landschaft der Frey-Kurvenfamilie

Von statischen Invarianten zur verborgenen Gruppenstruktur

Die erste Phase der Untersuchung begann mit einer scheinbar naheliegenden Idee:

Wenn eine Zahl $$ c=pq $$ verborgene Primfaktoren besitzt, dann müsste diese Information in einer geometrischen Konstruktion sichtbar werden.

Aus jeder Zerlegung $$ a+b=c $$ wurde eine elliptische Kurve erzeugt: $$ E_a:y^2=x(x-a)(x+c-a) $$ Die Hoffnung war:

Die Familie aller dieser Kurven könnte einen gemeinsamen geometrischen Fingerabdruck besitzen, der die Primfaktoren von (c) sichtbar macht.

Die Untersuchung führte zunächst zu den klassischen Weierstraß-Invarianten:

  • Diskriminante $(Delta)$
  • Invariante $(c_4)$
  • Invariante $(c_6)$
  • $(j)$-Invariante

Dabei zeigte sich eine fundamentale Trennung:

Die reine Geometrie kennt $(c)$ nicht.

Die Arithmetik trägt die Information.

1. Die Entdeckung der universellen Kurve

Mit der Substitution: $$ u=\frac{a}{c} $$ wurde die Kurvenfamilie dimensionslos.

Die $(j)$-Invariante lautet: $$ j(u)=256 \frac{(u^2-u+1)^3} {u^2(1-u)^2} $$ Damit verschwindet die absolute Größe von $(c)$.

Alle Kurven mit gleichem Verhältnis $$ u=\frac ac $$ liegen geometrisch auf derselben universellen Familie.

Die geometrische Struktur unterscheidet also nicht zwischen: $$ c=21 $$ und$$ c=10^{100}+3 $$ Die komplexe Geometrie sieht nur die Form, nicht die Einbettung in die ganzen Zahlen.

2. Der arithmetische Fingerabdruck

Wird die Kurve dagegen über den ganzen Zahlen betrachtet, erscheinen zusätzliche Faktoren.

Für die skalierte Variante entstehen: $$ c_4=16c^2(u^2-u+1) $$ $$ c_6=-32c^3(u-2)(u+1)(2u-1) $$ $$ \Delta=16c^6u^2(u-1)^2 $$

Damit besitzt die Familie einen eingebauten Skalierungsfingerabdruck: $$ c_4\sim c^2 $$ $$ c_6\sim c^3 $$ $$ \Delta\sim c^6 $$

Die Information über: $$ c=pq $$ ist also nicht verschwunden. Sie liegt aber nicht in der geometrischen Form der Kurve. Sie liegt in der arithmetischen Realisierung.

3. Die Tautologie-Falle der statischen Invarianten

Der nächste Schritt bestand darin zu prüfen, ob diese Invarianten direkt zur Faktorisierung genutzt werden können.

Die wichtigste Beobachtung war: $$ c_4=16(a^2-ac+c^2) $$ Berechnet man: $$ \gcd(c_4,c) $$ erhält man: $$ \gcd(a^2-ac+c^2,c) $$ Modulo (c): $$ a^2-ac+c^2\equiv a^2 \pmod c $$ Damit folgt: $$ \gcd(c_4,c)=\gcd(16a^2,c) $$ Für ein quadratfreies: $$ c=pq $$ gilt: $$ \gcd(a^2,c)=\gcd(a,c) $$

Die scheinbar perfekte Invariante liefert daher keine neue Information. Sie erkennt nur: Ist $(a)$ bereits Vielfaches eines Faktors von $(c)$?

Der Filter ist korrekt.

Aber er ersetzt nur die Probedivision.

4. Die zentrale Erkenntnis

Damit änderte sich die Frage grundlegend. Die ursprüngliche Frage lautete:

Welche einzelne Kurveninvariante verrät die Primfaktoren?

Die neue Frage lautet:

Besitzt die gesamte Familie aller Kurven (E_a) eine arithmetische Signatur, die nur durch die Zerlegung (c=pq) entsteht?

Die Information liegt möglicherweise nicht in einer einzelnen Kurve. Sie könnte in der Verteilung aller Kurven verborgen sein.

5. Der Übergang vom Ring zur lokalen Welt

Die Zahl: $$ c=pq $$ besitzt eine besondere Struktur.

Nach dem chinesischen Restsatz gilt: $$ \mathbb Z/c\mathbb Z \cong \mathbb Z/p\mathbb Z \times \mathbb Z/q\mathbb Z $$ Die Rechnung modulo $(c)$ besteht also aus zwei gleichzeitig existierenden Welten:

Eine Welt modulo $(p)$.

Eine Welt modulo $(q)$.

Die entscheidende Frage: Welche Eigenschaften einer Kurve unterscheiden diese beiden Welten?

6. Die Reduktion der Kurve modulo den Primfaktor

Betrachtet man: $$ c=pq $$ modulo $(p)$, verschwindet $(c)$: $$ c\equiv0\pmod p $$ Damit wird: $$ y^2=x(x-a)(x-a+c) $$ zu: $$ y^2=x(x-a)^2 \pmod p $$

Die beiden Nullstellen kollidieren. Die Kurve wird singulär.

Der gleiche Vorgang passiert modulo $(q)$.

Die wichtige Frage ist jedoch nicht, ob eine Singularität existiert, denn beide Primfaktoren erzeugen eine.

Die Frage ist: Wie stark unterscheidet sich die Art dieser Singularität?

7. Die Familie statt die Einzelkurve

Eine einzelne Kurve kann zufällig wenig Information tragen.

Aber die gesamte Familie: $$ \mathcal E_c= {E_a|a=1,\ldots,c-1} $$ erzeugt eine Landschaft verschiedener Zustände.

Für jedes $(a)$ kann untersucht werden:

  • Reduktion modulo $(p)$
  • Reduktion modulo $(q)$
  • Gruppenordnung
  • Spur des Frobenius
  • Torsionsstruktur
  • Anteil glatter Gruppenordnungen

Die Hoffnung:

Einige Parameter $(a)$ erzeugen eine starke Asymmetrie zwischen den beiden verborgenen Welten.

8. Die eigentliche Kandidaten-Invariante: Gruppenordnung

Die wichtigste neue Größe ist nicht mehr: $$ \Delta $$ oder: $$ c_4 $$ sondern:

$$\#E(\mathbb F_p)$$

Eine elliptische Kurve über einem Primkörper besitzt:

$$\#E(\mathbb F_p)=p+1-t_p$$

wobei: $$ t_p $$ die Spur des Frobenius ist.

Diese Größe hängt nicht nur von der Form der Kurve ab. Sie hängt von der gesamten Gruppenstruktur ab.

Genau diese Information fehlt den statischen Invarianten.

9. Der experimentelle Forschungsplan

Der nächste Schritt ist deshalb kein symbolischer Ansatz mehr. Er ist ein arithmetisches Experiment.

Schritt 1

Erzeuge kleine Semiprimen:

Beispiele: $$ c=21=3\cdot7 $$ $$ c=143=11\cdot13 $$ $$ c=323=17\cdot19 $$

Schritt 2

Erzeuge für jedes: $$ a=1,\ldots,c-1 $$ die Kurve: $$ E_a:y^2=x(x-a)(x+c-a) $$

Schritt 3

Berechne separat: $$ \#E_a(\mathbb F_p) $$ und: $$ \#E_a(\mathbb F_q) $$

Schritt 4

Suche Muster:

  • Gibt es bestimmte (a)-Werte mit extremer Asymmetrie?
  • Sind diese (a)-Werte mit Eigenschaften von (p) oder (q) verbunden?
  • Gibt es statistische Signaturen der gesamten Familie?

10. Die Verbindung zu ECM

An diesem Punkt trifft die Untersuchung auf Lenstras Elliptic Curve Method. ECM nutzt nicht eine spezielle statische Kurve. ECM nutzt die Tatsache, dass Gruppenordnungen zufälliger elliptischer Kurven manchmal günstige Faktoren besitzen.

Die Hoffnung der eigenen Untersuchung wäre eine Verallgemeinerung:

Nicht:

“Finde eine zufällige gute Kurve.”

Sondern:

“Nutze die deterministische Familie $(E_a)$, weil sie durch die Gleichung $(a+b=c)$ eine besondere Struktur besitzt.”

11. Die neue Frage

Die ursprüngliche Hypothese:

Die Frey-Kurve enthält direkt den Primfaktor.

wurde widerlegt.

Die präzisere Hypothese lautet:

Die Familie aller Frey-Kurven zu einer festen Summe $(c)$ besitzt möglicherweise eine charakteristische arithmetische Verteilung ihrer Gruppenstrukturen, die mit der Faktorisierung von $(c)$ zusammenhängt.

Damit verschiebt sich die Untersuchung von:

Geometrie der einzelnen Kurve

zu:

Statistik und Arithmetik der gesamten Kurvenfamilie.

12. Der nächste konkrete Schritt

Der nächste Versuch sollte daher nicht weitere Invarianten berechnen.

Er sollte eine vollständige Kartierung kleiner Familien durchführen:

Für jedes $(c=pq)$:

  • alle $(a)$
  • alle Kurven
  • beide Primkörper
  • Gruppenordnungen
  • Frobenius-Spuren
  • Singularitätsarten

Danach kann geprüft werden, ob die Familie tatsächlich eine versteckte Signatur von $(p)$ und $(q)$ besitzt. Falls ja, wäre dies eine neue Sichtweise:

Nicht eine Kurve faktorisiert die Zahl.

Die gesamte Geometrie-Landschaft der Familie könnte die Zahl verrate

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